Metoda charakterystyk dla równań liniowych o stałych współczynnikach
W rozdziale tym omówimy rozwiązywanie równań liniowych różniczkowych cząstkowych pierwszego rzędu o stałych współczynnikach metodą charakterystyk.
Metoda ta polega na sprowadzeniu rozwiązania równania różniczkowego cząstkowego do rozwiązania układu równań różniczkowych zwyczajnych, tak zwanych równań charakterystyk.
W tym celu należy znaleść rozwiązania równania wyjściowego wzdłuż pewnych krzywych, a następnie pokazać, że powierzchnia utworzona w stosowny sposób z tak skonstruowanych krzywych (charakterystyk) jest rozwiązaniem równania wyjściowego.
Rozważmy liniowe równanie różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu o stałych współczynnikach
Niech \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) będzie rozwiązaniem równania ( 1 ) w obszarze \( \hskip 0.3pc D. \hskip 0.3pc \) Rozważmy krzywą \( \hskip 0.3pc \Gamma \hskip 0.3pc \) zawartą w \( \hskip 0.3pc D \hskip 0.3pc \) daną równaniami
Oczywiście wzdłuż krzywej \( \hskip 0.3pc \Gamma \hskip 0.3pc \) rozwiązanie \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) przyjmuje wartości
a pochodna względem zmiennej \( \hskip 0.3pc t \hskip 0.3pc \) wyraża się wzorem
Załóżmy, że krzywa \( \hskip 0.3pc \Gamma \hskip 0.3pc \) jest tak dobrana, że
Stąd i z faktu, że \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania ( 1 ) wynika, że prawa strona relacji ( 2 ) jest równa \( \hskip 0.3pc c, \hskip 0.3pc \) czyli
Rozwiązując równanie ( 3 ) z warunkami początkowymi: \( \hskip 0.3pc x(0)=x_0, \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc y(0)=y_0, \hskip 0.3pc \) otrzymamy
lub po wyrugowaniu parametru \( \hskip 0.3pc t \hskip 0.3pc \)
Zauważmy, że przez każdy punkt obszaru \( \hskip 0.3pc D \hskip 0.3pc \) przechodzi dokładnie jedno rozwiązanie układu równań ( 3 ).
Rozwiązanie równania ( 4 ) ma postać
Przypomnijmy, że funkcja ( 6 ) jest rozwiązaniem równania ( 1 ) wzdłuż krzywej \( \hskip 0.3pc \Gamma, \hskip 0.3pc \) czyli krzywej danej równaniem ( 5 ).
Jeśli zatem stałą \( \hskip 0.3pc K \hskip 0.3pc \) zastąpimy dowolną funkcją która na krzywej \( \hskip 0.3pc \Gamma \hskip 0.3pc \) przyjmuje stałą wartość, co symbolicznie możemy zapisać
gdzie \( \hskip 0.3pc y_0 \hskip 0.3pc \) jest dane wzorem ( 5 ), funkcja
będzie w dalszym ciągu spełniać równanie ( 1 ) wzdłuż krzywej \( \hskip 0.3pc \Gamma. \hskip 0.3pc \)
Rozważmy teraz funkcje
gdzie \( \hskip 0.3pc F \hskip 0.3pc \) jest dowolną funkcją różniczkowalną jednej zmiennej.
Bezpośredni rachunek pokazuje, że funkcja ta jest rozwiązaniem równania ( 1 ).
Istotnie
Tak więc, aby znaleźć rozwiązania równania ( 1 ), wystarczy rozwiązać układ równań liniowych ( 3 ), ( 4 ).
Równania te noszą nazwę równań charakterystyk.
Warunki początkowe \( \hskip 0.3pc x(0)=x_0, \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc y(0)=y_0 \hskip 0.3pc \) należy dobrać tak, aby krzywe całkowe \( \hskip 0.3pc \Gamma \hskip 0.3pc \)
pokryły cały obszar \( \hskip 0.3pc D. \hskip 0.3pc \) Zazwyczaj jako punkty początkowe wygodnie jest wziąść punkty leżące na stosownie dobranej krzywej, na przykład na osi \( \hskip 0.3pc Ox \hskip 0.3pc \) lub \( \hskip 0.3pc Oy. \hskip 0.3pc \)
Często wystarczy ograniczyć się do rozwiązań spełniających warunki: \( \hskip 0.3pc x(0)=0, \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc y(0)=y_0. \hskip 0.3pc \)
Zauważmy jeszcze, że ponieważ \( \hskip 0.3pc F \hskip 0.3pc \) jest funkcją dowolną, wygodnie jest uzyskane rozwiązanie równania ( 1 ) zapisać w postaci równoważnej
spełniające warunek początkowy
gdzie \( \hskip 0.3pc f \hskip 0.3pc \) jest zadaną funkcją różniczkowalną.
Rozwiązując równania charakterystyk
z warunkami początkowymi \( \hskip 0.3pc x(0)=0 , \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc y(0)=y_0, \hskip 0.3pc \) otrzymamy
lub po wyrugowaniu \( \hskip 0.3pc t, \hskip 0.3pc \)
Równanie ( 4 ) przyjmuje postać
a jego rozwiązanie możemy zapisać w postaci
gdzie \( \hskip 0.3pc F \hskip 0.3pc \) jest dowolną funkcją różniczkowalną jednej zmiennej.
Zgodnie z wzorem ( 7 ) całka ogólna równania ( 8 ) ma postać
Rozwiązanie to winno spełniać warunek początkowy ( 9 ), czyli
Wynika stąd, że rozwiązaniem problemu ( 8 ), ( 9 ) jest funkcja
W szczególności, jeśli \( \hskip 0.3pc f(y)=1/(1+y^{3}) \hskip 0.3pc \) to rozwiązaniem tego problemu jest funkcja
spełniające warunki
gdzie \( \hskip 0.3pc f \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc g \hskip 0.3pc \) są funkcjami różniczkowalnymi i ponadto \( \hskip 0.3pc f(0)=g(0). \hskip 0.3pc \)
Zgodnie z poprzednimi rozważaniami całka ogólna równania ( 10 ) ma postać
gdzie \( \hskip 0.3pc F \hskip 0.3pc \) jest dowolną funkcją różniczkowalną jednej zmiennej.
Rozważmy zbiory \( \hskip 0.3pc D_1=\big\{(x,y)\in \mathbb R^2: x\geq 0,\,\,0\leq y\leq ax\big\} \hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc D_2=\big\{(x,y)\in\mathbb R^2: x\geq 0,\,\,y > ax\big\}. \hskip 0.3pc \)
Zauważmy, że w zbiorze \( \hskip 0.3pc D_1 \hskip 0.3pc \) rozwiązanie równania ( 10 ) winno spełniać warunek \( \hskip 0.3pc u(x,0)=f(x), \hskip 0.3pc \) zaś w zbiorze \( \hskip 0.3pc D_2 \hskip 0.3pc \) warunek \( \hskip 0.3pc u(0,y)= g(y). \hskip 0.3pc \) W pierwszym przypadku \( \hskip 0.3pc F(-ax)=f(x), \hskip 0.3pc \) czyli \( \hskip 0.3pc F(t)=f(-t/a), \hskip 0.3pc \) zaś w drugim \( \hskip 0.3pc F(y)=g(y) . \hskip 0.3pc \)
Wynika stąd, że rozwiązaniem problemu ( 10 ), ( 11 ) jest funkcja
spełniające warunki
Nietrudno sprawdzić, że całka ogólna równania wyjściowego ma postać
zaś rozwiązanie spełniające zadane warunki początkowo-brzegowe ma postać
Opisaną tu metodę możemy stosować również w przypadku, gdy współczynniki a, b, c są funkcjami zmiennych \( \hskip 0.3pc x \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc y. \hskip 0.3pc \)
spełniające warunek początkowy
gdzie \( \hskip 0.3pc f \hskip 0.3pc \) jest funkcją różniczkowalną.
Rozwiązując równania charakterystyk
z warunkami początkowymi \( \hskip 0.3pc x(0)=0, \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc y(0)=y_0 \hskip 0.3pc \) otrzymamy
Zauważmy, że rodzina krzywych \( \hskip 0.3pc x=t, \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc y= y_0e^t, \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pcy_0\in \mathbb{R}, \hskip 0.3pc \) pokrywa całą przestrzeń \( \hskip 0.3pc \mathbb{R}^2, \hskip 0.3pc \) na której szukamy rozwiązania.
Równanie ( 4 ) przyjmuje tym razem postać
Rozwiązując to równanie otrzymamy
Ponieważ stała \( \hskip 0.3pc K \hskip 0.3pc \) jest dobrana dla charakterystyki \( \hskip 0.3pc y_0=ye^{-x} \hskip 0.3pc \) w miejsce \( \hskip 0.3pc K \hskip 0.3pc \) możemy wstawić \( \hskip 0.3pc F(y_0), \hskip 0.3pc \) czyli
gdzie \( \hskip 0.3pc F \hskip 0.3pc \) jest dowolną funkcją różniczkowalną.
Zgodnie z poprzednimi razważaniami funkcja
jest rozwiązaniem równania wyjściowego.
Uwzględniając warunek początkowy mamy
Zatem szukane rozwiązanie ma postać
spełniające warunki
Równania charakterystyk mają postać
Z równania \( \hskip 0.3pc \dfrac{dz}{dt}=0 \hskip 0.3pc \) wynika, że funkcja \( \hskip 0.3pc z=u(x(t),\,y(t)) \hskip 0.3pc \) jest stała wzdłuż charakterystyk.
Wykorzystując ten fakt, możemy w drugim równaniu potraktować \( \hskip 0.3pc z\hskip 0.3pc \) jako stałą.
Po rozwiązaniu równań charakterystyk z warunkami początkowymi \( \hskip 0.3pc x(0)=0, \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc y(0)=y_0, \hskip 0.3pc \) otrzymamy
Eliminując z dwóch pierwszych równań \( \hskip 0.3pc t \hskip 0.3pc \) otrzymamy
a wstawiając - podobnie jak poprzednio w równości \( \hskip 0.3pc z=F(y_0) \hskip 0.3pc \)w miejsce \( \hskip 0.3pc z\hskip 0.3pc \) funkcje \( \hskip 0.3pc u, \hskip 0.3pc \)a w miejsce \( \hskip 0.3pc y_0 \hskip 0.3pc \) wyznaczoną powyżej zależność, otrzymamy rozwiązanie równania wyjściowego w postaci uwikłanej
Wykorzystując warunek początkowy otrzymamy
Zatem rozwiązanie naszego problemu możemy zapisać w postaci uwikłanej
Wyznaczając z ostatniego równania \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) mamy
Zauważmy, że tak otrzymana funkcja \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) spełna również drugi z żądanych warunków, bowiem \( \hskip 0.3pc u(x,0) =\sqrt 0 =0. \hskip 0.3pc \)
Jak poprzednio szukamy rozwiązania wzdłuż krzywej \( \hskip 0.3pc \Gamma \subset V \hskip 0.3pc \) danej równaniami
Załóżmy, że krzywa \( \hskip 0.3pc \Gamma \hskip 0.3pc \) jest tak dobrana, że
Rozwiązując ostatni układ równań z warunkami początkowymi: \( \hskip 0.3pc x(0)=0, \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc y(0)=y_0, \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc z(0)=z_0 \hskip 0.3pc \) otrzymamy
lub po wyrugowaniu parametru \( \hskip 0.3pc t \hskip 0.3pc \) równanie krawędziowe krzywej \( \hskip 0.3pc \Gamma :\hskip 0.3pc \)
(Jeśli uzyskana rodzina krzywych nie pokrywa obszaru \( \hskip 0.3pc V, \hskip 0.3pc \) należy wzbogacić warunki początkowe).
Zauważmy, że wzdłuż krzywej \( \hskip 0.3pc \Gamma \hskip 0.3pc \) rozwiązanie równania przyjmuje wartość \( \hskip 0.3pc v(t)=u\big(x(t),\,y(t),\,z(t)\big), \hskip 0.3pc \) przy czym zgodnie z równaniem wyjściowym
Stąd
Ponieważ stała \( \hskip 0.3pc K \hskip 0.3pc \) jest dobrana do krzywej \( \hskip 0.3pc\Gamma, \hskip 0.3pc \) możemy fakt ten wyrazić formułą \( \hskip 0.3pc K= F(y_0, z_0), \hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc F \hskip 0.3pc \) jest dowolną różniczkowalną funkcją dwóch zmiennych, czyli
Wracając do zmiennych wyjściowych i pamiętając, że \( \hskip 0.3pc t=x/a \hskip 0.3pc \) mamy
Nietrudno sprawdzić, że tak określona funkcja jest rozwiązaniem równania wyjściowego.